Proyecto Caja Abierta: Manipulativo

Título: Caja Abierta
Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)
Material: papel blancopapel cuadriculado en centímeros cuadrados, tijeras, celo, regletas unidad o unidades de base 10

¿Te gustaría trabajar manipulando, conceptos como longitud, capacidad, volumen y sus unidades?

El proyecto Caja Abierta da para esto y para mucho más. Me refiero a que con él se pueden  trabajar también tablas, gráficas,  e incluso funciones y derivadas. Por esta razón, la información relevante sobre este proyecto está dividida en tres entradas.

En la primera, titulada Proyecto Caja Abierta: Multinivel  hice una descripción somera del proyecto incidiendo en que se trata de un proyecto multinivel.

La segunda, llamada Proyecto Caja Abierta: Manos a la Obra, contiene  el proyecto fase a fase con los materiales necesarios (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

En esta tercera entrada, tras una breve descripción del problema,  propongo una forma de introducir la manipulación en el proyecto.

Breve descripción del proyecto

Construcción de la caja

En la imagen aparece cómo se monta el tipo de caja con el que vamos a trabajar.

Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Etapas del montaje de la caja.
Cuadrado de 15 cm de lado, cuadrado con esquinas recortadas y caja a medio montar

Empieza con un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Recorta cuatro cuadraditos iguales en las cuatro esquinas.  Pliega  dejando una base cuadrada. Une los lados de los rectángulos con celo para que estos hagan de paredes de la caja. Ya tienes una de tus cajas sin tapa.

Pregunta

La pregunta que vertebra todo el proyecto es la siguiente:

¿Cómo cambia la capacidad de la caja, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Tienes también aquí la hoja de trabajo para los estudiantes.

 Por qué ofrecer materiales manipulativos

Creo que una de las dificultades con las que se encuentran muchas personas ante un problema matemático es que no se imaginan la situación de la que se está hablando.  En concreto, en nuestro proyecto, algunos estudiantes no se imaginarán, si no la ven (y quizá la tocan) la caja de la que estamos hablando.

Por otro lado creo que el aprendizaje parte de lo concreto para llegar a la abstracción. Gracias a haber visto o montado  unas cuantas cajas, podrán imaginar otras.

Y por último, para mi es necesario ver, medir y  tocar para adquirir nociones como longitud, área, volumen o capacidad.

Qué materiales ofrecer

Materiales para comprender la situación

  • Cuadrado en papel blanco de 15×15 cm de lado
  • Cuadrado en papel blanco de 15×15 cm con los cuadraditos recortados en cada esquina
  • Caja a medio montar

Con un juego de estos materiales que esté a la vista de todos será suficiente. Quizá alguna persona necesitará tocarlo.

Materiales para la fase de investigación
  • Tijeras
  • Celo
  • Papel cuadriculado de 1cm
  • Cuadrados cuadriculados de 15 x15 cm de lado
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Papel cuadriculado en cm.
Papel cuadriculado de 1cm imprimible. ¡Cuidado con la escala de impresión! Debe ser 100%
  •  Regletas unidad  o unidades de  base 10 (centímetros cúbicos)
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Regletas unidad o unidades de base 10.
Las regletas unidad de 1 cm de arista o las unidades de la base 10 son centímetros cúbicos

 Propuestas de manipulación

Los estudiantes pueden usar los materiales para:

  • cortar cuadraditos de diferentes tamaños en las esquinas de los cuadrados de 15 cm de lado:
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Cuadrado de 15cm con recortes de 1, 2 y 3 cm
Cuadrado de 15×15 cm sin recortes y con recortes de 1×1, 2×2 y 3×3 cm
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Cuadrados de 15cm con recortes de 4, 5, 6 y 7 cm
Cuadrados de 15×15 cm con recortes de 4×4, 5×5, 6×6 y 7×7 cm
  • plegar  para obtener cajas sin tapa:
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Cuadrados con distintos recortes y las cajas que se forman a partir de ellos
Cuadrados con recortes de 1×1, 5×5, 6×6, 7×7 cm y cajas abiertas correspondientes
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Diferentes cajas montadas.
Cajas correspondientes a recortes de 1×1, 3×3, 5×5, 6×6 y 7×7 cm
  • medir su volumen poniendo centímetros cúbicos dentro de cada caja:
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Distintas cajas y sus capacidades.
Cajas de recortes 1×1, 6×6 y 7×7 cm con sus capacidades
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Detalle de caja de recorte 6cm
Caja de recorte 6×6 cm con regletas unidad y su capacidad

No te quiero engañar, no siempre caben todos los centímetros cúbicos que deberían entrar en cada caja.

Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. No caben todos los que tendrían que caber
En uno de los lados no caben los 13 centímetros cúbicos que en teoría tendrían que caber

Pienso que las razones son varias: los cubitos no son perfectos, los pliegues tampoco lo son, se necesita un poquito más de papel para rodear la arista del cubo… Aun así pienso que meter centímetros cúbicos en una caja y contar los que caben (o deberían caber) es una experiencia valiosísima para adquirir la noción de capacidad o volumen.

Cómo ofrecer los materiales para la fase de investigación

Con estudiantes pequeños prepararía, para cada grupo, unas 5 o 6 hojas cuadriculadas en centímetros cuadrados, unas 20 regletas unidad y los repartiría a cada grupo.

Mi experiencia en secundaria con materiales manipulativos me dice que no es buena idea preparar materiales para todos los grupos. No todos los estudiantes se benefician de ellos (quizá el momento ya pasó) y pueden terminar jugando con ellos o deteriorándolos.                   Por esta razón, mi propuesta es que llevéis como 15 hojas cuadriculadas en centímetros cuadrados , unas 40 regletas unidad y que las pongáis en una mesa a disposición del que crea que le va a ayudar.

Considero que,  incluso en bachillerato, bastantes alumnos  se podrían beneficiar de los materiales. Si no te ves dejando materiales en una mesa para que algún alumno mayor pueda utilizarlos (te aseguro que alguno se benificiaría haciéndolo), al menos monta tú una de las cajas con el papel cuadriculado en centímetros cuadrados (por ejemplo la de recorte 6 cm) y llénala con centímetros cúbicos (no es necesario que la llenes por completo).  Quizá solo echen una mirada de reojo a la caja, pero les estás ofreciendo una imagen poderosa del significado de medir un volumen en centímetros cúbicos. Ya sabes, es aquello de: una imagen vale más que mil palabras.

Conseguir los materiales

  • Papel cuadriculado de 1cm en formato pdf : Mateslibres.com
  • Centímetros cúbicos (también llamados regletas unidad) disponibles en tiendas online de materiales manipulativos.
  • Las cajas montadas que aparecen en las fotos están hechas con forro adhesivo con el revés cuadriculado en centímetros cuadrados que puedes encontrar en papelerías. No lo recomiendo como material porque se recorta con dificultad.

Gracias a

  • Investigando las Matemáticas.  Libro 4. Robert Fisher y Alan Vince,1990. Ediciones AKAL. ISBN 84-7600-577-6. Página 41
  • Maria Antonia Canals por haberme introducido en el mundo de los materiales manipulativos
  • Jo Boaler (por su curso online de Stanford  How to Learn Math, en especial por su paradigma de la capacidad matemática en desarrollo)

Por cierto en una de las fotos hay una equivocación. ¿Sabes cuál es?

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