Diario: ¿Por qué solo hay 5 Poliedros Regulares?

En el taller del FACE 2017 Sara nos proporcionó material para investigar construyendo poliedros y propuso las siguientes preguntas: ¿cuántos poliedros regulares podéis encontrar? ¿estás seguro de que no hay más? ¿por qué?

Yo ya sabía desde hace años que existen únicamente cinco poliedros regulares, así que me puse con la tercera pregunta: ¿por qué no hay más?

A continuación, el diario de una profesora desarrollando su capacidad matemática. Esto me hace pensar en una posible asociación: Profesores de Matemáticas sin Fronteras, ja, ja,ja…

Aquí tienes información sobre los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, por si te ayuda a seguir el diario.

Jueves 24 de agosto de 2017          11:15 – 12:15 h

  • Empiezo a rellenar la hoja de trabajo añadiendo una columna con el número de vértices.
  • Intento buscar algún patrón en la suma de los ángulos planos de las caras que confluyen en un vértice:
tetraedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro
3 x 60º

180º

3 x 90º

270º

4 x 60º

240º

abandono el intento
  • A continuación trato de encontrar algún patrón en el total de los ángulos planos del poliedro regular:
tetraedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro
4 x 180º

 

8 x 270º

2160º

6 x 240º

1240º

abandono el intento
  • Intento aplicar la relación que se cumple en los poliedros convexos entre el número de caras (C), el de vértices (V) y el de aristas (A):    C + V = A + 2
  • Siento mucha confusión porque, intuitivamente, las variables que me parecen importantes en los poliedros son  el número de lados del polígono que se repite (3 en el triángulo…) y el número de polígonos que confluyen en un vértice (4 en el octaedro…) y no veo cómo relacionar estas variables con C, V y A. Abandono el intento.
  • Recorto piezas y construyo el tetraedro . Necesito construir más, por ejemplo el octaedro, pero veo que no me da tiempo
  • Veo que mi compañero está haciendo un estudio analítico del problema
  • Decido hacer algunas fotos.
  • Me pongo con el dodecaedro (12 pentágonos regulares). Calculo el ángulo que forman dos lados. Obtengo: 72º.
Collage trabajo taller. Diario poliedros regulares
Trabajo hecho durante el taller
  • Siento un poco de corte por no haber avanzado más en el problema.
  • Veo que es una oportunidad para mostrar, en el grupo de puesta en común de nuestras investigaciones, que para mi la velocidad a la hora de resolver un problema no es algo muy relevante. Las investigaciones llevan tiempo.
  • Pienso en que Sara ha creado las plantillas y ha montado y observado los poliedros. Siento que puedo que hacer lo mismo para responder a su pregunta.

Sábado 26 de agosto de 2017       4:30 a 6:00 h

En un banco de la plaza del albergue, junto a una farola para tener algo de luz, recorto y doblo pestañas.

Con triángulos
  • Decido explorar todos los poliedros regulares formados por triángulos.
  • Monto un tetraedro (perdí el que había montado) y observo que  confluyen 3 triángulos en un vértice.
  • Monto un octaedro y observo que confluyen 4 triángulos en un vértice.
  • Consigo montar una parte del icosaedro y observo que confluyen 5 triángulos en un vértice.
Tetraedro octaedro e icosaedro. Diario poliedros regulares
Al confluir en un vértice 3, 4 y 5 triángulos se obtinen el tetraedro, el octaedro y el icosaedro respectivamente
  • Caigo en que no pueden confluir 2 triángulos en un vértice porque quedaría hueco.
  • Me doy cuenta de por qué no puede haber un poliedro con 6 triángulos confluyendo en un vértice. Quedaría plano y no podría dar lugar a un objeto cerrado. Monto 6 triángulos confluyendo en un vértice para poder contar este descubrimiento.
6 triángulos equilateros formando hexágono (plano). Diario poliedros regulares
Al confluir 6 triángulos equiláteros el conjunto queda plano

  • Intento hacer que confluyan 7 triángulos en un vértice y, como esperaba, los triángulos se doblan… Claro: sus ángulos suman 420º y en el plano solo caben 360º. Imposible conseguir un poliedro en el que confluyan 7 o más triángulos.
  • Decido dejarlo. Me siento contenta. Me quedan preguntas como: ¿qué pasa con los poliedros formados por cuadrados y por pentágonos? ¿por qué no hay un poliedro que esté formado por hexágonos?

Lunes 18 de agosto de 2017             6:00 a 7:00 h

Con cuadrados
  • Decido buscar los poliedros regulares formados por cuadrados.
  • Sé que el que tiene 3 cuadrados confluyendo en un vértice es el hexaedro o cubo.
  • Visualizo que al hacer confluir 4 cuadrados en un vértice, el conjunto queda plano, como ocurría con 6 triángulos, con lo cual, no se podrá cerrar para obtener un poliedro.
  • Imagino que con 5 o más  cuadrados las piezas se doblarán. Imposible formar un poliedro en esos casos.
Con pentágonos
  • Vuelvo a calcular el ángulo que forman los dos lados del pentágono regular porque no me encaja que pueda ser 72º. Estaba mal, son 108º. (Por cierto hay otro error en los cálculos iniciales, ¿lo has encontrado?)
  • Veo que haciendo confluir 3 pentágonos en un vértice puede salir un poliedro regular. Esto es porque el ángulo es 3 veces 108º, es decir, 324º,  es menor de 360º. Voy a comprobar en el dodecaedro que montó Nico y veo que, efectivamente, confluyen tres pentágonos en un vértice.
  • Como 4 x 108º es mayor que 360º si hago confluir cuatro pentágonos en un vértice, se doblarán. Y con más de 5 pentágonos lo mismo.
Con hexágonos, heptágonos…
  • Comprendo por qué no puede haber poliedros regulares formados por hexágonos. Tres hexágonos confluyendo quedan planos y con cuatro o más se doblan las piezas.
  • Por último veo que con heptágonos, octógonos… ya con tres polígonos confluyendo se doblan las piezas.

Conclusiones

En primer lugar,  con triángulos solo se pueden formar poliedros regulares si confluyen 3, 4 y 5 triángulos en un vértice (tetraedro, octaedro e icosaedro).

En segundo lugar,  a base de cuadrados solo si confluyen 3 cuadrados en un vértice (hexaedro o cubo) y por último, con pentágonos solo con 3 en un vértice (dodecaedro).

Más reflexiones

Me doy cuenta de que las pruebas iniciales sumando ángulos planos, además de que eran una etapa por la que necesité pasar, no iban tan tan desencaminadas como pensé al quedarme sin tiempo en el taller.

Me siento contenta y me surgen nuevas preguntas como: ¿con más de 6 triángulos confluyendo en un vértice salen los poliedros cóncavos?

Además queda pendiente también la demostración matemática estándar, es decir, la que se hace con boli y papel, sin tocar los materiales.

Gracias a

Sara por este fantástico material y esta pregunta tan chula.

Miguel de Guzmán, gran matemático y docente, y el referente que necesitaba en este momento. Por su humildad, por sus ideas sobre la plasticidad de nuestra capacidad y por su propuesta de realizar protocolos (que son una especie de diario) a la vez que se resuelve un problema.

Portada libro Pensar Mejor M Guzman. Diario poliedros regularesRecomiendo su libro: Para pensar mejor. Desarrollo de la Creatividad a través de los Procesos Matemáticos.

Nicolás Aumar por sus revisiones y comentarios.